Kirjoittaja Aihe: Paloittain määritelty funktio  (Luettu 470 kertaa)

0 jäsentä ja 1 Vieras katselee tätä aihetta.

Poissa Lasso

  • Satunnaisvuotaja
  • Viestejä: 12
Paloittain määritelty funktio
« : 02.05.22 - klo:19:52 »
Tämä on sanoma pro:n pitkä matematiikka 13(painos 2013) tehtävä 20, jos tämä jotakuta auttaisi.
Tehtävä on senverta matematiikka painoitteinen tehtävä, että lähetän mielummin selvyyden vuoksi kuvankaappauksen tehtävästä ja ratkaisusta.

Tehtävä:
https://gyazo.com/4c0d5900325488bc34de61627971e197
Ratkaisu:
https://gyazo.com/3f266fdcb80b0862db719c3320b2d8e1

Tässä tekee nyt intuitiivisesti järkeä se, että funktiota ei ole määritelty kohdassa x=1 ja -1. Ja sitten se miten y:n arvo on negatiivinen silloin, kun nimittäjä on negatiivinen, koska osoittajan on oltava aina ei-negatiivinen. Se missä töppää on näiden ratkaisujen luonti. En osaa johtaa loogisesti tätä funktiota muotoon ILMAN itseisarvomerkkejä. Osasin saada ne vastauksen haluamaan muotoon(eli -x+1, x-1, -x-1 ja x+1), mutta en osaa johtaa tästä haluttuja määrittely välejä. Toivottavasti joku osaisi antaa omaa ajatustaan, tai tarkkaa ratkaisu tapaa tämän tyyliseen tehtävään! <3

Poissa TeknoDoktor

  • Hypervuotaja
  • ****
  • Viestejä: 584
Vs: Paloittain määritelty funktio
« Vastaus #1 : 04.05.22 - klo:18:30 »

En tiedä, ymmärsinkö kysymyksen oikein, mutta alla jotain ajatuksia noiden välien määrittelyyn.
Tehtävässä on kaksi itseisarvo-lauseketta |x^2-1| ja |x|-1 - tarkastellaan seuraavaksi, miten nuo on määriteltävissä ilman itseisarvomerkkejä. Tärkeää on käsitellä kumpaakin lauseketta erikseen:
|x^2-1|: Tämä koko lauseke pitää siis saada pysymään positiivisena, koska koko lauseke on itseisarvoissa. Funktion nollakohdathan osataan määrittää ja ne ovat paraabelille ne pisteet, joissa funktio vaihtaa merkkiään. Eli voidaan kirjoittaa:
(1a) |x^2-1| = x^2-1, kun x ≥ 1 tai x ≤-1
(1b) |x^2-1| = -x^2+1, kun -1 < x < 1


|x|-1 : Tässä lausekkeessa ainoastaan x:n pitää pysyä positiivisena. Eli voidaan kirjoittaa:
(2a) |x|-1 = x-1, kun x≥0
(2b) |x|-1 = -x-1, kun x <0


Sitten pitää vielä huomioida tuo, minkä jo totesitkin, että yhtälö ei ole määritelty pisteissä -1 ja 1, joten kohta (1a) muuttuu muotoon
(1a) |x^2-1| = x^2-1, kun x > 1 tai x <-1


Nyt vaan kirjoitellaan nuo välit auki ja katsotaan, kumpiko yhtälö aina valitaan, eli aloitetaan negatiivisimmasta:
Jos x <-1, niin tällöin pätevät yhtälöt 1a ja 2b (koska, jos x<-1, niin se on varmasti myös x<0), eli (x^2-1) / (-x-1) = (x+1)(x-1) / -(x+1) = -x+1 


Sitten seuraava "katko-kohta" tuosta yllä olevasta listasta tulee, kun
-1<x <0, niin tällöin pätevät yhtälöt 1b ja 2b, eli -(x+1)(x-1) / -(x+1) = x-1


Seuraava, kun
0≤x<1, tällöin pätevät 1b ja 2a, eli -(x+1)(x-1) / (x-1) = -x-1


Ja viimeinen, kun
x > 1, tällöin pätevät 1a ja 2a, eli (x+1)(x-1) / (x-1) = x+1


Malliratkaisusta tuo minun ratkaisuni eroaa sillä, että "toisen yhtälön" rajat ovat minulla -1 < x < 0 ja malliratkaisussa -1 < x ≤ 0, mutta käytännössähän tuossa on ihan sama, laitetaanko tuolle nollan yhtäsuuruun pienempi tai isompi kuin kanssa, koska tuo jakava funktio on jatkuva tuossa pisteessä (eli jos x = 0, niin x-1 = -1 JA -x-1 = -1).


Selvittiköhän tämä yhtään vai oletko enemmän sekaisin?

 

Seuraa meitä